programme de colle 21

Colle 21 – lundi 25 au vendredi 29 mars 2019

 Cette colle est la dernière de l'année, avant les colle d'oral.

Mécanique quantique :

Chapitre 1 : amplitude dprobabilité

Chapitre 2 : particule libre

Chapitre 3 : puits de potentiel infini et fini.

Chapitre 4 : effet tunnel et double puits.

En fin de document des QC.

 

1.     Approche ondulatoire de la mécanique quantique Programme PC
1.1.  Amplitude de probabilité
Fonction d’ondey(x,t) associée à une particule dans un problème unidimensionnel. Densité linéique de probabilité.   Principe de superposition. Interférences.	Normaliser une fonction d’onde. Faire le lien qualitatif avec la notion d’orbitale en chimie.   Relier la  superposition de fonctions d’ondes à la description d’une expérience d’interférences entre particules.
1.2.  Équation de Schrödinger pour une particule libre
Équation de Schrödinger.   États stationnaires.                                 Courant de probabilité associé à un état stationnaire.       Paquet d’ondes associé à une particule libre. Relation ∆kx ∆x ≥ 2p	Utiliser l’équation de Schrödinger fournie.   Identifier les états stationnaires aux états d’énergie fixée. Établir et utiliser la relation : y(x,t) = j(x) exp(-iEt/ħ) et l’associer à la relation de Planck-Einstein. Distinguer l’onde associée à un état stationnaire en mécanique quantique d’une onde  stationnaire au sens usuel de la  physique des ondes.   Utiliser l’équation de Schrödinger pour la partie spatiale j(x). En exploitant l’expression classique de l’énergie de la particule, associer la relation de dispersion obtenue et la relation de de Broglie. Utiliser l’expression admise  et l’interpréter comme produit densité*vitesse.     Identifier vitesse de groupe et vitesse de la particule. Faire le lien avec l’inégalité de Heisenberg spatiale.
1.3.  Équation de Schrödinger dans un potentiel V(x) uniforme par morceaux
Quantification de l’énergie dans un puits de potentiel rectangulaire de profondeur infinie.               Énergie de confinement quantique.	Établir les expressions des énergies des états stationnaires. Faire l’analogie avec la recherche des pulsations propres d’une corde vibrante fixée en  ses deux extrémités. Retrouver qualitativement l’énergie minimale à partir de l’inégalité de Heisenberg spatiale.   Associer le confinement d’une particule quantique à une augmentation de l’énergie cinétique.
Quantification de l’énergie des états liés dans un puits de profondeur finie. Élargissement effectif du puits par les ondes évanescentes.	Mettre en place les éléments du modèle : forme des fonctions d’ondes dans les différents domaines. Utiliser les conditions aux limites admises : continuité de j et dj/dx. Associer la quantification de l’énergie au caractère lié de la particule. Mener une discussion graphique.   Interpréter qualitativement, à partir de l’inégalité de Heisenberg spatiale, l’abaissement des niveaux d’énergie par rapport au puits de profondeur infinie.
1.4.  Effet tunnel
Notions sur l’effet tunnel.         Courant de probabilité associé à une solution stationnaire.	Associer l’existence d’une probabilité de traverser une barrière de potentiel et l’existence de deux ondes évanescentes dans la zone classiquement interdite.   Exprimer les coefficients de transmission et de réflexion associés à la barrière comme des rapports de courants de probabilités.   Approche documentaire de la radioactivité alpha: -       utiliser une expression fournie du coefficient de transmission pour analyser des documents scientifiques ; -       expliquer le rôle de l’effet tunnel dans la radioactivité alpha ; . Approche documentaire de la microscopie à effet tunnel : -       utiliser une expression fournie du coefficient de transmission pour analyser des documents scientifiques ; -       expliquer la sensibilité à la distance de cette méthode d’observation des surfaces.
Approche descriptive : Double puits symétrique.   Étude des deux premiers états stationnaires : symétrique et antisymétrique.   Évolution temporelle d’une superposition de ces deux états.	Exploiter les diagrammes d’énergie et faire le lien avec la chimie.   Sur l’exemple de la molécule d’ammoniac, interpréter les oscillations purement quantiques d’une particule initialement confinée dans un des puits à partir du principe de superposition.

 

Questions de cours :

 

Chapitre 1 : amplitude de probabilité :

 

• Quelles sont les propriétés du photon ?
• Qu’appelle-t-on relations de Planck-Einstein ?
• Quelle est la relation de de Broglie ?
• Qu’appelle-t-on dualité onde-particule ?
• Quelle est la signification physique de la fonction d’onde associée à une particule ?
• Qu’appelle-t-on condition de normalisation ? Quel est son sens physique ?
• Qu’est-ce que le principe de superposition ?

 

On considère une expérience d’interférences de fentes d’Young réalisées avec des particules.

On note :

• Ψ1 la fonction d’onde associée à un quanton avec le trou supérieur ouvert seul ; son argument est φ1;
• Ψ2 la fonction d’onde associée à un quanton avec le trou inférieur ouvert seul ; son argument est φ2;
• Ψ la fonction d’onde associée à un quanton avec les deux trous ouverts.

1. Quelle est la probabilité dp₁qu’un quanton parvienne sur un élément de surface dS infinitésimal placé en M sur l’écran à l’instant t ? Même question si le seul le trou inférieur est ouvert.
2. On ouvre les deux trous. Quelle est l’amplitude résultante ?
3. Montrer que la probabilité élémentaire de détection sur dS au voisinage de M est :

 

Chapitre 2 : l’équation de Schrödinger ; particule libre :

 

• Ecrire l’équation de Schrödinger.
• Définir une particule libre.
• Définir un état stationnaire.
• En admettant que pour un état stationnaire la fonction d’onde s’écrit :

            montrer que la densité de probabilité d’un état stationnaire est indépendante du temps.

• Montrer que l’équation vérifiée par la partie spatiale de la fonction d’onde stationnaire d’une particule libre est :
• Comment s’écrit la fonction d’onde stationnaire d’une particule libre ?
• Quel nom donne-t-on à ce type d’onde ?
• Montrer que la relation de dispersion associée à cette onde s’écrit :
• Montrer que la vitesse de groupe associée à un paquet d’onde ayant la relation de dispersion précédente s’identifie à la vitesse de la particule modélisée par ce paquet d’ondes.
• On considère un paquet d’ondes de largeur ∆k en nombre d’onde ; quelle est l’ordre de grandeur de son indétermination spatiale ∆x ?
• Définir le courant de probabilité associé à un état stationnaire.

 

Chapitre 3 : Particule dans un puits de potentiel :

On considère un puits infini de largeur a dans lequel se trouve une particule d’énergie E.

1. Rechercher la forme générale des fonctions d’onde des états stationnaires.
2. Quelles conditions aux limites doit vérifier la fonction d’onde ?
3. En déduire les niveaux d’énergie de la particule, puis la fonction d’onde.
4. Normaliser cette fonction d’onde.

On considère un puits d’énergie potentielle de largeur a et de profondeur V₀finie ,

et une particule d’énergie E < V₀.

Quels sont les domaines classiquement interdits ?

En résolvant l’équation d’onde spatiale, écrire la forme des fonctions dans chaque domaine.

Ecrire les conditions de continuité.

Quelle est la profondeur de pénétration dans les domaines interdits ?

Quelles différences par rapport au puits infini ?

Quelles situations physiques ces potentiels peuvent-ils modéliser ?

 

Chapitre 4 : effet tunnel ; double puits de potentiel :

 

Schématiser la barrière de potentiel (hauteur V₀) ; pourquoi le cas 0<E<V₀est-il le seul étudié ?  

Quelles situations physiques ces potentiels peuvent-ils modéliser ?

En résolvant l’équation d’onde spatiale, écrire la forme des fonctions dans chaque domaine.

Ecrire les conditions de continuité.

Quelle est la profondeur de pénétration dans le domaine interdit classiquement ?

Décrire qualitativement la radioactivité α.

Programme du DS 7

Ondes électromagnétiques

Laser

Mécanique quantique

Programme de colle 20

Colle 20 – lundi 18 au vendredi 22 mars 2019

 

• Ondes électromagnétiques dans les milieux  et interfaces : cf semaine dernière.

 

• Laser : cf semaine dernière ( on peut aussi interroger sur le TP « oscillateur à pont de Wien »).

 

• Mécanique quantique :

              Révisions de PCSI + Chapitre 1 : Amplitude de probabilité + Chapitre 2 : particule libre.

 

Notions et contenus PCSI	Capacités exigibles
4. Introduction au monde quantique
Dualité onde-particule pour la lumière et la matière. Relations de Planck-Einstein et de Louis de Broglie.	Évaluer des ordres de grandeurs typiques intervenant dans des phénomènes quantiques.   Approche documentaire : décrire un exemple d’expérience mettant en évidence la nécessité de la notion de photon.   Approche documentaire : décrire un exemple d’expérience illustrant la notion d’ondes de matière.
Interprétation probabiliste associée à la fonction d’onde : approche qualitative.	Interpréter une expérience d’interférences (matière ou lumière) « particule par particule » en termes probabilistes.   Expliquer qualitativement la nécessité d’une amplitude de probabilité dont le carré est associé à la probabilité.
Inégalité de Heisenberg spatiale.	À l’aide d’une analogie avec la diffraction des ondes lumineuses, établir l’inégalité en ordre de grandeur :  ∆p ∆x ≥ ħ.
Énergie minimale de l’oscillateur harmonique quantique.	Établir le lien entre confinement spatial et énergie minimale (induit par l’inégalité de Heisenberg spatiale).
Quantification de l’énergie d’une particule libre confinée 1D.	Obtenir les niveaux d’énergie par analogie avec les modes propres d’une corde vibrante.   Établir le lien qualitatif entre confinement spatial et quantification.

 

5.1. Amplitude de probabilité	PC
Fonction d’onde Ψx,t) associée à une particule dans un problème unidimensionnel. Densité linéique de probabilité. Principe de superposition. Interférences.	Normaliser une fonction d’onde. Faire le lien qualitatif avec la notion d’orbitale en chimie. Relier la superposition de fonctions d’ondes à la description d’une expérience d’interférences entre particules.

 

5.2. Équation de Schrödinger pour une particule libre

PC

Équation de Schrödinger. États stationnaires. Paquet d’ondes associé à une particule libre. Relation ∆kx ∆x ≥ 1/2 Courant de probabilité associé à une particule libre.

Utiliser l’équation de Schrödinger fournie. Identifier les états stationnaires aux états d’énergie fixée. Établir et utiliser la relation : Ψ(x,t) = φ(x) exp(-iEt/ħ) et l’associer à la relation de Planck-Einstein. Distinguer l’onde associée à un état stationnaire en mécanique quantique d’une onde stationnaire au sens usuel de la physique des ondes. Utiliser l’équation de Schrödinger pour la partie spatiale φ(x). En exploitant l’expression classique de l’énergie de la particule libre, associer la relation de dispersion obtenue et la relation de de Broglie. Identifier vitesse de groupe et vitesse de la particule. Faire le lien avec l’inégalité de Heisenberg spatiale. Utiliser l’expression admise J ⎜Ψ⎜2 ℏk/m l’interpréter comme produit densité*vitesse.