Cours bilans dynamiques

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Programme de colle 11

Colle 11 – lundi 10 au vendredi 14 décembre 2018

 

Dynamique des fluides visqueux : on peut encore donner un écoulement de Poiseuille plan ou cylindrique ou Couette plan guidé.

 

Dynamique des fluides parfaits : théorème de Bernoulli, équation d’Euler.

Applications classiques : formule de Torricelli ( clepsydre par exemple), effet Venturi, tube de Pitot.

 

Systèmes ouverts : se limiter aux exemples classiques traités en cours : fusée, force sur une canalisation, écoulements de Poiseuille et Couette (fichier joint).

 

Ondes mécaniques: cours uniquement : démonstration de l’équation d’onde sur la corde, dans le cristal ou sur une ligne à constante réparties (coaxe).

 

 

Notions et contenus	Capacités exigibles
2.4 Bilans macroscopiques
Bilans de masse.	Établir un bilan de masse en raisonnant sur un système ouvert et fixe ou sur un système fermé et mobile. Utiliser un bilan de masse.
Bilans de quantité de mouvement ou d’énergie cinétique pour un écoulement stationnaire unidimensionnel à une entrée et une sortie.	Associer un système fermé à un système ouvert pour faire un bilan. Utiliser la loi de la quantité de mouvement et la loi de l’énergie cinétique pour exploiter un bilan. Exploiter la nullité (admise) de la puissance des forces intérieures dans un écoulement parfait et incompressible.

 

Notions et contenus	Capacités exigibles
1.     Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d’Alembert
1.1.  Ondes mécaniques unidimensionnelles dans les solides déformables
Équation d’onde pour des ondes transversales sur une corde vibrante infiniment souple dans l’approximation des petits mouvements transverses.	Établir l’équation d’onde en utilisant un système infinitésimal.
Modèle microscopique de solide élastique unidimensionnel (chaîne d’atomes élastiquement liés) : loi de Hooke.   Ondes acoustiques longitudinales dans une tige solide dans l’approximation des milieux continus.	Relier la raideur des ressorts fictifs à l’énergie de liaison et évaluer l’ordre de grandeur du module d’Young.   Établir l’équation d’onde en utilisant un système infinitésimal.

 

programme de colle 10

Colle 10 – lundi 3 au vendredi 7 décembre 2018

Statique et cinématique des fluides : idem semaine précédente.

Dynamique des fluides visqueux : donner à chaque étudiant un écoulement de Poiseuille plan ou cylindrique ou Couette plan guidé(voir exemples ci-dessous).

Pour la tension superficielle, se contenter de questions qualitatives (compétences strictement expérimentales).

Dynamique des fluides parfaits : insister sur l’utilisation du théorème de Bernoulli (plutôt que sur l’utilisation de l’équation d’Euler). Les exercices porteront uniquement sur les applications classiques : formule de Torricelli ( clepsydre par exemple), effet Venturi, tube de Pitot.

 

 

 

 

Ecoulement de Couette plan :

 

L’espace est rapporté à un trièdre Oxyz, Oy étant dirigé suivant la verticale ascendante.

On néglige les effets de la pesanteur .

Un fluide newtonien incompressible de viscosité dynamique hest enfermé entre deux plaques planes infinies, parallèles, perpendiculaires à Oy et de cotes respectives y = 0 et y = L.

La plaque de cote y = 0 est immobile, l’autre étant animée d’une vitesse .

On cherche le champ des vitesses en régime stationnaire, dont on admet qu’il s’écrit :

vecteur v = v(y,t).vecteur ux

 Faire un schéma.

1. Calculer l’accélération.
2. Le gradient de pression est supposé nul. Appliquer l’équation de Navier-Stokes et en déduire l’expression de v(y).
3. Calculer le débit volumique pour une largeur L du canal.

 

Ecoulement de Poiseuille plan:

On considère une canalisation horizontale entre deux plans assimilés à des plans infinis séparés de e, dans laquelle coule un  fluide visqueux, de viscosité h.

On néglige le poids volumique du fluide devant les forces de pression qu’il subit.

Un dispositif extérieur impose une différence de pression DP sur une longueur L ( selon Ox) de tuyau.

On recherche le champ de vitesse de l’écoulement stationnaire, qu’on suppose de la forme :

vecteur v = v(z,t).vecteur ux

1. Calculer l’accélération.
2. Ecrire l’équation de Navier-Stokes et la projeter.
3. En déduire que la pression ne dépend que de x, et que le gradient de pression dP/dx est constant. Quelle est sa valeur ?
4. Montrer que le profil de vitesse est parabolique.
5. En déduire le débit massique de fluide pour une largeur L du canal.

 

Ecoulement de Poiseuille cylindrique:

On considère une canalisation horizontale de rayon R, longueur L, d’axe Oz, dans laquelle coule un  fluide visqueux, de viscosité h. On adopte les coordonnées cylindriques.

On néglige le poids volumique du fluide devant les forces de pression qu’il subit.

On recherche le champ de vitesse de l’écoulement stationnaire, qu’on suppose de la forme :

vecteur v = v(r,t).vecteur uz

où Oz est l'axe de la canalisation, r la distance à cet axe.

On appelle DP = P(0) - P(L) la différence de pression entre les extrémités du tube.

Donnée : en coordonnées cylindriques.

1. Montrer que l’accélération particulaire est nulle.
2. Ecrire et projeter l’équation de Navier-Stokes. En déduire que le gradient de pression est uniforme dans le tube.
3. En déduire l'expression du champ de vitesse dans le tube.

Calculer le débit volumique D_ven fonction de R, h, L et DP et en déduire la loi de Poiseuille :

4. AN : calculer la perte de charge DP dans une artère où R = 0,5 cm, h_sang= 4.10^-3Pl , L = 1m, D_v =80 cm³.s^-1.